哪種方法好？

有一隻大怪物出現在你面前，十秒內就可以把你幹掉。所以，你得在十秒內把它解決。你可以用小刀刺它：速度比較快，但是效果也比較差，要刺中六下才能解決它。或是，你可以用球棒，速度比較慢，但是效果比較好，只要打中三下就夠了。哪種方法比較好？

假設球棒的速度正好是小刀的一半，那麼，看起來似乎沒什麼差別，因為小刀刺中六下所需要的時間，和球棒打三下是一樣的。不過，這是假設每一下都能打中。如果有一個固定機率會沒打中的話，情形似乎就不同了。

如果十秒的時間，剛好可以用小刀刺十下，或是用球棒打五下。那麼，直覺來看，似乎用小刀「比較安全」，因為就算偶而沒刺到，也有比較多次機會可以補救。但真的是這樣嗎？

為了簡單起見，先假設，打中的機率和打不中的機率是一樣的（各為 50%）。這麼一來，這個問題就變成：丟五次硬幣，至少出現三次正面，和丟十次硬幣，至少出現六次正面，比較哪種方法的機率高。

丟五次硬幣中出現至少三次正面的機率是 (1 + 5 + C(5, 2))/2^5 = 16/32 = 50%。丟十次硬幣中出現至少六次正面的機率是 (1 + 10 + C(10, 2) + C(10, 3) + C(10, 4))/2^10 = 386/1024 ~= 38%。所以，如果打中的機率只有 50% 時，用小刀反而不好，看起來「直覺」好像是錯的。

不過，如果打中的提率提高了，會有什麼影響？設打中的機率是 p，則五次打中至少三次的機率是：

p^5 + 5p^4(1-p) + C(5,2)p^3(1-p)^2

如果 p = 0.9 則機率是 99.144%。

十次中打中至少六次的機率是：

p^10 + 10p^9(1-p) + C(10,2)p^8(1-p)^2 + C(10,3)p^7(1-p)^3 + C(10,4)p^6(1-p)^4

如果 p = 0.9 則機率是 99.836%。

也就是說，如果打中的機率提高到 90%，則使用小刀反而是比較好的方法。直覺畢竟是對的 (?)。

當然，認真來說，哪種方法比較好，和 p 有很密切的關係。也就是說，如果你打中怪物的準度不夠，就應該打少次一點，期待運氣好每次都命中。但是如果準度夠，就可以選擇打多次一點，比較「保險」。